前言 符号说明 引子 第一章 科学的根源 1.1　探寻世界的成因 1.2　数字真理 1.3　柏拉图的数学世界“真实”吗？ 1.4　三个世界与三重奥秘 1.5　善、真、美 第二章 古代定理和现代问题 2.1　毕达哥拉斯定理 2.2　欧几里得公设 2.3　毕达哥拉斯定理的相似面积证明 2.4　双曲几何：共形图像 2.5　双曲几何的其他表示 2.6　双曲几何的历史渊源 2.7　与物理空间的关系 第三章 物理世界里数的种类 3.1　毕达哥拉斯灾难？ 3.2　实数系 3.3　物理世界里的实数 3.4　自然数需要物理世界吗？ 3.5　物理世界里的离散数 第四章 奇幻的复数 4.1　魔数“i” 4.2　用复数解方程 4.3　幂级数的收敛 4.4　韦塞尔复平面 4.5　如何构造曼德布罗特集 第五章 对数、幂和根的几何学 5.1　复代数几何 5.2　复对数概念 5.3　多值性，自然对数 5.4　复数幂 5.5　与现代粒子物理学的某些关联 第六章 实数微积分 6.1　如何构造实函数？ 6.2　函数的斜率 6.3　高阶导数；C光滑函数 6.4　“欧拉的”函数概念 6.5　微分法则 6.6　积分 第七章 复数微积分 7.1　复光滑，全纯函数 7.2　周线积分 7.3　复光滑幂级数 7.4　解析延拓 第八章 黎曼曲面和复映射 8.1　黎曼曲面概念 8.2　共形映射 8.3　黎曼球面 8.4　黎曼映射定理 第九章 傅里叶分解和超函数 9.1　傅里叶级数 9.2　圆上的函数 9.3　黎曼球面上的频率部分 9.4　傅里叶变换 9.5　傅里叶变换的频率剖分 9.6　哪种函数是适当的？ 9.7　超函数 第十章 曲面 10.1　复维和实维 10.2　光滑，偏导数 10.3　矢量场与1形式 10.4　分量，标题积 10.5　柯西-黎曼方程 第十一章 超复数 11.1　四元数代数 11.2　四元数的物理角色 11.3　四元数几何 11.4　转动如何叠加 11.5　克利福德工数 11.6　格拉斯曼代数 第十二章 n维流形 12.1　为什么要研究高维流形？ 12.2　流形与坐标拼块 12.3　标题、矢量和余矢量 12.4　格拉斯曼积 12.5　形式的积分 12.6　外导数 12.7　体积元，求和规则 12.8　张量：抽象指标记法和图示记法 12.9　复流形 第十三章 对称群 13.1　变换群 13.2　子群和单群 13.3　线性变换和矩阵 13.4　行列式和迹 13.5　本征值与本征矢量 13.6　表示理论与李代数 13.7　张量表示空间：可约性 13.8　正交群 13.9　酉群 13.10　辛群 第十四章 流形上的微积分 14.1　流形上的微分 14.2　平行移动 14.3　协变导数 14.4　曲率和挠率 14.5　测地线、平行四边形和曲率 14.6　李导数 14.7　度规能为你做什么 14.8　辛流形 15 纤维丛与规范联络 15.1 纤维丛的物理背景 15.2 丛的数学概念 15.3 丛的截面 15.4 克利福德丛 15.5 复矢量丛、（余）切丛 15.6 射影空间 15.7 丛联络的非平凡性 15.8 丛曲率 16 无限的阶梯 16.1 有限域 16.2 物理上需要的是有限还是无限几何？ 16.3 无限的不同大小 16.4 康托尔对角线法 16.5 数学基础方面的难题 16.6 图灵机与哥德尔定理 16.7 物理学中无限的大小 17 时空 17.1 亚里士多德物理学里的时空 17.2 伽利略相对性原理下的时空 17.3 时空的牛顿动力学 17.4 等效原理 17.5 嘉当的“牛顿时空” 17.6 确定不变的有限光速 17.7 光锥 17.8 放弃绝对时间 17.9 爱因斯坦广义相对论的时空 18 闵可夫斯基几何 18.1 欧几里得型与闵可夫斯基型四维空间 18.2 闵可夫斯基空间的对称群 18.3 洛伦兹正交性；“时钟悖论” 18.4 闵可夫斯基空间的双曲几何 18.5 作为黎曼球面的天球 18.6 牛顿能量和（角）动量 18.7 相对论性能量和（角）动量 19 麦克斯韦和爱因斯坦经典场 19.1 背离牛顿动力学的演化 19.2 麦克斯韦电磁理论 19.3 麦克斯韦理论中的守恒律与通量定律 19.4 作为规范曲率的麦克斯韦场 19.5 能量动量张量 19.6 爱因斯坦场方程 19.7 进一步的问题：宇宙常数；外尔张量 19.8 引力场能量 20 拉格朗日量与哈密顿量 20.1 神奇的拉格朗日形式体系 20.2 更为对称的哈密顿图像 20.3 小振动 20.4 辛几何的哈密顿动力学 20.5 场的拉格朗日处理 20.6 如何从拉格朗日量导出现代理论 21 量子粒子 21.1 非对易变量 21.2 量子哈密顿量 21.3 薛定谔方程 21.4 量子理论的实验背景 21.5 理解波粒二象性 21.6 什么是量子“实在”？ 21.7 波函数的整体性质 21.8 奇怪的“量子跳变” 21.9 波函数的概率分布 21.10 位置态 21.11 动量空间描述 22 量子代数、几何和自旋 22.1 量子步骤U和R 22.2 U的线性性以及它给R带来的问题 22.3 幺正结构、希尔伯特空间和狄拉克算符 22.4 幺正演化：薛定谔绘景与海森伯绘景 22.5 量子“可观察量” 22.6 YES / NO测量；投影算符 22.7 类光测量；螺旋性 22.8 自旋与旋量 22.9 二态系统的黎曼球面 22.10 高自旋：马约拉纳绘景 22.11 球谐函数 22.12 相对论性量子角动量 22.13 一般的孤立量子客体 23 纠缠的量子世界 23.1 多粒子系统的量子力学 23.2 巨大的多粒子系统态空间 23.3 量子纠缠：贝尔不等式 23.4 玻姆型EPR实验 23.5 哈迪的EPR事例：几乎与概率无关 23.6 量子纠缠的两个谜团 23.7 玻色子与费米子 23.8玻色子与费米子的量子态 23.9 量子隐形传态 23.10 量子纠缠 24 狄拉克电子与反粒子 24.1 量子理论和相对论之间的张力 24.2 为什么反粒子意味着量子场？ 24.3 量子力学里的能量正定性 24.4 相对论能量公式的困难 24.5 ∂/∂t的非不变性 24.6 波算符的克利福德－狄拉克平方根 24.7 狄拉克方程 24.8 正电子的狄拉克途径 25 粒子物理学的标准模型 25.1 现代粒子物理学的起源 25.2 电子的zigzag图像 25.3电弱相互作用；反射不对称性 25.4 正反共轭、宇称和时间反演 25.5 电弱对称群 25.6 强相互作用粒子 25.7 “色夸克” 25.8 超越标准模型？ 26 量子场论 26.1 QFT在现代物理中的基础地位 26.2 产生算符与湮没算符 26.3 无穷维代数 26.4 QFT中的反粒子 26.5 备择真空 26.6 相互作用：拉格朗日量与路径积分 26.7 发散的路径积分：费恩曼响应 26.8 构建费恩曼图；S矩阵 26.9 重正化 26.10 拉格朗日量的费恩曼图 26.11 费恩曼图与真空选择 27 大爆炸及其热力学传奇 27.1 动力学演化的时间对称性 27.2 亚微观成分 27.3 熵 27.4 熵概念的鲁棒性 27.5 第二定律的导出 27.6 整个宇宙可看作一个“孤立系统”吗？ 27.7 大爆炸的角色 27.8 黑洞 27.9 事件视界与时空奇点 27.10 黑洞熵 27.11 宇宙学 27.12 共形图 27.13 异乎寻常的特殊大爆炸 28 早期宇宙的推测性理论 28.1 早期宇宙的自发对称破缺 28.2 宇宙的拓扑缺陷 28.3早期宇宙的对称破缺问题 28.4 暴胀宇宙学 28.5 暴胀的动机有效吗？ 28.6 人择原理 28.7 大爆炸的特殊性质：人择是关键？ 28.8 外尔曲率假说 28.9 哈特尔－霍金的“无界”假说 28.10 宇宙学参数：观察的地位？ 29 测量疑难 29.1量子理论的传统本体论 29.2量子理论的非传统本体论 29.3密度矩阵 29.4自旋1/2的密度矩阵：布洛赫球 29.5 EPR状态的密度矩阵 29.6 环境退相关的FAPP哲学 29.7 “哥本哈根”本体论的薛定谔猫 29.8 其他传统本体论能够解决“猫”佯谬吗？ 29.9 哪一种非传统本体论有助于解决问题？ 30 量子态收缩中的引力角色 30.1 当今的量子理论在此适用吗？ 30.2 来自宇宙学时间不对称的线索 30.3 量子态收缩的时间不对称性 30.4 霍金的黑洞温度 30.5 源自复杂周期性的黑洞温度 30.6 基灵矢量，能量流——时间旅行！ 30.7 来自负能量途径的能量流 30.8 霍金爆炸 30.9 更激进的观点 30.10 薛定谔团块 30.11 与爱因斯坦原理的基本冲突 30.12 优先的薛定谔－牛顿态？ 30.13 FELLX及其相关理论 30.14 早期宇宙涨落的起源 31 超对称、超维和弦 31.1 令人费解的参数 31.2 超对称 31.3 超对称代数与几何 31.4 高维时空 31.5 原初的强子弦论 31.6 极品弦论 31.7 额外时空维的弦动机 31.8 作为量子引力的弦理论？ 31.9 弦动力学 31.10 为什么我们看不见额外的空间维？ 31.11 我们应当接受关于量子稳定性论证吗？ 31.12 额外维的经典不稳定性 31.13 弦QFT是有限的吗？ 31.14 神奇的卡拉比－丘空间，M－理论 31.15 弦与黑洞熵 31.16 “全息原理” 31.17 D膜观点 31.18 弦论的物理学地位？ 32 更为狭窄的爱因斯坦途径；圈变量 32.1 正则量子引力 32.2 阿什台卡变量的手征输入 32.3 阿什台卡变量的形式 32.4 圈变量 32.5 结与链的数学 32.6 自旋网络 32.7 圈量子引力的地位 33 更彻底的观点；扭量理论 33.1 几何上具有离散元素的理论 33.2 作为光线的扭量 33.3 共形群；紧化闵可夫斯基空间 33.4 作为高维旋量的扭量 33.5 基本扭量几何及其坐标 33.6 作为无质量自旋粒子的扭量的几何 33.7 扭量量子论 33.8 无质量场的扭量描述 33.9 扭量层上同调 33.10 扭量与正/负频率剖分 33.11 非线性引力子 33.12 扭量与广义相对论 33.13 面向粒子物理的扭量理论 33.14 扭量理论的未来 34 实在之路通向何处？ 34.1 20世纪物理学的伟大理论——与超越？ 34.2 数学推动的基础物理学 34.3 时髦物理理论的作用 34.4 错误理论能被实验驳倒吗？ 34.5 下一次物理学革命会来自何处？ 34.6 实在是什么？ 34.7 心智在物理理论中的作用 34.8 通向实在的漫长的数学之路 34.9 美与奇迹 34.10 艰深的问题回答了，更深的问题又形成了