序言 前言 §0. 伽罗瓦理论概述 §1. 有限伽罗瓦扩张 1.1 伽罗瓦对应 1.2 阿廷引理 10 1.3 戴德金无关性引理 12 1.4 有限伽罗瓦扩张 14 习题 15 §2. 伽罗瓦理论基本定理 17 2.1 表述及意义 17 2.2 证明 19 2.3 注记与例子 21 2.4 代数基本定理 26 习题 27 §3. 伽罗瓦群的计算 29 3.1 伽罗瓦的原始思想 29 3.2 判别式 32 3.3 4 次方程 34 .3.4 纯粹方程 36 3.5 分圆域 38 3.6 素数次对称群 39 3.7 布饶尔的构造 40 习题 42 §4. 一般方程的伽罗瓦群 45 4.1 一般方程 45 4.2 伽罗瓦反问题 47 习题 49 §5. 方程根式可解的伽罗瓦大定理 51 5.1 历史背景及表述 51 5.2 充分性的证明 54 5.3 必要性的证明 55 5.4 3 次方程求根公式 57 5.5 4 次方程求根公式 59 习题 61 §6. 模 p 法 63 6.1 有理函数域 63 6.2 模 p 法 65 6.3 对称群 68 习题 70 §7. e 和 π 的超越性 71 7.1 林德曼–魏尔斯特拉斯定理 71 7.2 证明 73 7.3 公开问题 77 习题 77 §8. 尺规作图问题 79 8.1 几何定义与代数描述 79 8.2 三大古典难题 84 8.3 可构数的另一判定法 85 8.4 正 n 边形的尺规作图 86 习题 87 §9. 附录 i: 所需群和环中的结论 89 9.1 有限群中若干结论 89 9.2 有限阿贝尔群 93 9.3 可解群 94 9.4 对称多项式基本定理 95 9.5 唯一因子分解整环上的多项式环 97 9.6 中国剩余定理 98 §10. 附录 ii: 域论摘要 101 10.1 域扩张的基本概念 101 10.2 分裂域和同构延拓定理. 104 10.3 有限域 107 10.4 可分扩张和正规扩张 108 10.5 单位根与分圆多项式 111 10.6 狄利克雷素数定理的特例 115 参考文献 119 中英文名词索引 121