第零章 导引 1 0.1 逻辑: 量词 1 0.2 逻辑连接词 3 0.3 量词的否定 6 0.4 集合 7 0.5 限制变量 8 0.6 序对与关系 9 0.7 函数与映射 11 0.8 积集; 指标记号 13 0.9 合成 15 0.10 对偶性 16 0.11 布尔运算 18 0.12 分拆与等价关系 20 第一章 向量空间 23 1.1 基本概念 23 1.2 向量空间与几何 39 1.3 积空间与 Hom(V, W) 46 1.4 仿射子空间与商空间 56 1.5 直和 61 1.6 线性性 73 第二章 有限维向量空间 77 2.1 基 77 2.2 维数 84 2.3 对偶空间 88 2.4 矩阵 96 2.5 迹与行列式 107 2.6 矩阵计算 111 *2.7 二次型的对角化 120 第三章 微分学 126 3.1 回顾 R 中的情形 127 3.2 范数 131 3.3 连续性 137 3.4 等价的范数 143 3.5 无穷小 148 3.6 微分 152 3.7 方向导数; 中值定理 158 3.8 微分与积空间 164 3.9 微分和 R^n 169 3.10 初步应用 174 3.11 隐函数定理 178 3.12 子流形和拉格朗日乘子 186 *3.13 函数相关性 190 *3.14 一致连续性和取函数为值的映射 194 *3.15 变分法 198 *3.16 二阶微分和判别点的分类 201 *3.17 高阶微分; 泰勒公式 207 第四章 紧性和完备性 212 4.1 度量空间; 开集和闭集 213 *4.2 拓扑 218 4.3 序列的收敛性 219 4.4 列紧性 223 4.5 紧性和一致性 228 4.6 等度连续性 234 4.7 完备性 235 4.8 巴拿赫代数初探 243 4.9 压缩映射不动点定理 249 4.10 参数弧的积分 257 4.11 复数系 263 *4.12 弱方法 267 第五章 内积空间 270 5.1 内积 (纯量积) 270 5.2 交投影 275 5.3 自伴变换 280 5.4 正交变换 285 5.5 紧变换 288 第六章 微分方程 291 6.1 基本定理 291 6.2 对参数的可微依赖性 300 6.3 线性方程 302 6.4 n 阶线性方程 307 6.5 解非齐次方程 315 6.6 边值问题 322 6.7 傅里叶级数 329 第七章 多重线性泛函 334 7.1 线性泛函 334 7.2 多重线性泛函 336 7.3 置换 337 7.4 换的符号 339 7.5 交错张量子空间 a^n 340 7.6 行列式 342 7.7 外代数 346 7.8 内积空间的外幂 350 7.9 星号算子 351 第八章 积分 353 8.1 引言 353 8.2 公理 354 8.3 矩形和可铺集合 357 8.4 极小理论 360 8.5 极小理论 (续) 362 8.6 可度集合 365 8.7 何时可度? 367 8.8 在线性畸变下的行为 370 8.9 积分的公理 371 8.10 可度函数的积分 373 8.11 换元公式 378 8.12 累次积分 382 8.13 绝对可积函数 388 8.14 问题汇编: 傅里叶变换 393 第九章 微分流形 402 9.1 总图表 403 9.2 函数, 收敛性 407 9.3 微分流形 409 9.4 切空间 413 9.5 流与向量场 417 9.6 李导数 426 9.7 线性微分形式 434 9.8 用坐标计算 437 9.9 黎曼度量 442 第十章 流形上的积分学 449 10.1 紧性 449 10.2 1 的分解 451 10.3 密度 455 10.4 黎曼度量的体积密度 458 10.5 密度的拉回和它的李导数 464 10.6 散度定理 468 10.7 更加复杂的区域 474 第十一章 外微积分 478 11.1 外微分形式 478 11.2 定向流形和外微分形式的积分 483 11.3 算子 d 489 11.4 斯托克斯定理 494 11.5 斯托克斯定理的一些例示 501 11.6 微分形式的李导数 504 附录Ⅰ "向量分析" 511 附录Ⅱ E^3 中曲面的初等微分几何 513 第十二章 E^n 中的位势理论 530 12.1 立体角 530 12.2 格林公式 532 12.3 极大值原理 534 12.4 格林函数 536 12.5 泊松积分公式 539 12.6 泊松积分公式的推论 542 12.7 哈纳克定理 545 12.8 次调和函数 547 12.9 狄利克雷问题 549 12.10 边界附近的行为 553 12.11 狄利克雷原理 558 12.12 物理应用 559 12.13 问题汇编: 留数计算 562 第十三章 经典力学 567 13.1 切丛和余切丛 569 13.2 变分方程 571 13.3 T^*(M) 上的基本线性微分形式 574 13.4 T^*(M) 上的基本外 2 - 形式 577 13.5 哈密顿力学 580 13.6 中心力问题 583 13.7 二体问题 588 13.8 拉格朗日方程 590 13.9 变分原理 593 13.10 测地坐标 598 13.11 欧拉方程 603 13.12 刚体运动 606 13.13 小振动 613 13.14 小振动(续) 615 13.15 典型变换 621 参考文献 631 记 号 635 索 引 639